Trójkąty

Strona:	edu-on.pl
Kurs:	edu-on.pl
Książka:	Trójkąty

Wydrukowane przez użytkownika:
Data:	niedziela, 8 listopada 2026, 12:30

Spis treści

1. Trójkąt
2. Pole trójkąta
3. Trójkąt równoboczny
4. Warunek trójkata
5. Trójkąt prostokątny
6. Wzór Herona
7. Pole trójkąta z wierzchołkami
8. Wzór Picka
9. Pole trójkąta z kątem

1. Trójkąt

Trójkąt to figura geometryczna, która ma trzy boki i trzy kąty. Jest to jeden z podstawowych kształtów w geometrii. Trójkąty można klasyfikować na podstawie długości boków oraz miar kątów.

Trójkąt jest jedną z najprostszych, ale bardzo ważnych figur w matematyce, wykorzystywaną w różnych dziedzinach, np. w trygonometrii czy w geometrii analitycznej.

Trójkąt w informatyce odgrywa bardzo ważną rolę, bo jest podstawowym elementem używanym w wielu dziedzinach tej nauki i praktyki:

1. Grafika komputerowa

W grafice 2D i 3D powierzchnie obiektów najczęściej dzieli się na siatkę trójkątów (tzw. triangulacja).
Dlaczego trójkąty? Bo zawsze leżą w jednej płaszczyźnie i łatwo się je przetwarza matematycznie.
Modele 3D w grach, filmach i VR to w rzeczywistości ogromne zbiory trójkątów (czasem miliony).
Algorytmy renderowania (np. w kartach graficznych) są zoptymalizowane właśnie pod kątem rysowania trójkątów.

2. Geometria obliczeniowa

Trójkąty są podstawą algorytmów w grafice, CAD, GIS (np. triangulacja Delaunaya do dzielenia przestrzeni).
Używa się ich w obliczeniach kolizji – sprawdzanie, czy punkt, linia lub obiekt przecina trójkąt.

3. Sieci komputerowe i struktury danych

Pojawia się pojęcie trójkąta w grafach – jeśli trzy węzły są połączone, tworzą cykl długości 3.
W analizie sieci społecznościowych liczy się trójkąty, żeby badać np. znajomości i powiązania.

4. Algorytmy i matematyka komputerowa

Trygonometria (związana z trójkątami) jest podstawą w obliczeniach grafiki 3D, robotyki, sztucznej inteligencji (np. rozpoznawanie obrazu).

2. Pole trójkąta

Aby policzyć pole trójkata o podstawie długości $a$ i wysokości długości $h$ należy zastosować wzór $P=\frac{1}{2}\cdot a \cdot h$.

Wyznaczanie pola trójkąta mając daną podstawę i wysokość

Python C++

# Program: Pole trójkąta z podstawą i wysokością
# Autor: Jarosław Drzeżdżon
# Data: 2025-09-16

a = input("Dlugosc podstawy trojkata: ")
a = int(a)
h = int(input("Wysokosc trojkata: "))

area = 0.5 * a * h
print(f"Pole trojkata wynosi {area}")

// # Program: Pole trójkąta z podstawą i wysokością
// Autor: Jarosław Drzeżdżon
// Data: 2025-09-15

#include <iostream>
using namespace std;

int main() 
{
    double a, h, area;

    cout << "Dlugosc podstawy trojkata: ";
    cin >> a;
    cout << "Wysokosc trojkata: ";
    cin >> h;

    area = 0.5 * a * h;
    cout << "Pole trojkata wynosi " << area << endl;

    return 0;
}

Efekt wykonania kodu programu:


Dlugosc podstawy trojkata: 4
Wysokosc trojkata: 3
Pole trojkata wynosi 6

3. Trójkąt równoboczny

Trojkątem równobocznym nazywamy trójkąt, którego boki są równe. Pole trójkąta równobocznego możemy wyznaczyć ze wzoru $P=\frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}$.

Python C++

"""
Program: Pole trójkąta równobocznego
Autor: Jarosław Drzeżdżon
Data: 2025-09-16
"""

import math

a = input("Dlugosc podstawy trojkata: ")
a = float(a)

area = a**2 * math.sqrt(3) / 4
print(f"Pole trojkata wynosi {area}")
print(f"Pole trojkata wynosi {area:.2f}")

/*
Program: Pole trójkąta równobocznego
Autor: Jarosław Drzeżdżon
Data: 2025-09-16
*/

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

int main()
{
    double a, area;

    cout << "Dlugosc podstawy trojkata: ";
    cin >> a;

    area = (a * a * sqrt(3)) / 4;
    cout << "Pole trojkata wynosi " << area << endl;

    cout.precision(2);
    cout << "Pole trojkata wynosi " << fixed << area << endl;

    return 0;
}

Efekt wykonania kodu programu:


Dlugosc podstawy trojkata: 2
Pole trojkata wynosi 1.73205
Pole trojkata wynosi 1.73

4. Warunek trójkata

W geometrii warunek istnienia trójkąta mówi, że suma długości dwóch dowolnych boków musi być większa od długości trzeciego boku.

Jeżeli boki trójkata mają długości $a$, $b$ i $c$, to warunek ten zapisujemy tak:

$a+b>c$ oraz $a+c>b$ oraz $b+c>a$

$Przykłady:$

Boki trójkąta
4 5 3	2 3 6
Trójkąt	Nie jest to trójkąt

Python C++

"""
Warunek trójkąta
Autor: Jarosław Drzeżdżon
Data: 2025-09-16
"""

# Wczytanie długości boków
boki = input().split()
a = int(boki[0])
b = int(boki[1])
c = int(boki[2])

# Sprawdzenie warunku istnienia trojkata
if a + b > c and a + c > b and b + c > a:
    print("Z tych bokow mozna zbudowac trojkat.")
else:
    print("Z tych bokow nie da sie zbudowac trojkata.")

// Warunek trójkąta
// Autor: Jarosław Drzeżdżon
// Data: 2025-09-16

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    double a, b, c;

    cout << "Podaj dlugosci bokow: ";
    cin >> a >> b >> c;
    
    // Sprawdzenie warunku istnienia trójkąta
    if (a + b > c && a + c > b && b + c > a)
    {
        cout << "Z tych bokow mozna zbudowac trojkat." << endl;
    }
    else
    {
        cout << "Z tych bokow nie da sie zbudowac trojkata." << endl;
    }

    return 0;
}

Efekt wykonania kodu programu:


2 3 4
Z tych bokow mozna zbudowac trojkat.

3 5 9
Z tych bokow nie da sie zbudowac trojkata.

5. Trójkąt prostokątny

Aby sprawdzić, czy trókąt jest prostokątny, to wystarczy sprawdzić wszystkie trzy kombinacje twierdzenie Pitagorasa.

Python C++

# Wczytanie długości boków
boki = input("Podaj dlugosci bokow: ").split()
boki = list(map(int, boki))
a = boki[0]
b = boki[1]
c = boki[2]

# Sprawdzenie warunku istnienia trójkąta
if a + b > c and a + c > b and b + c > a:
    # Sprawdzenie, czy jest prostokątny (wszystkie kombinacje)
    if a**2 + b**2 == c**2 or a**2 + c**2 == b**2 or b**2 + c**2 == a**2:
        print("Z tych bokow mozna zbudowac trojkat prostokatny.")
    else:
        print("Z tych bokow mozna zbudowac trojkat, ale nie jest prostokatny.")
else:
    print("Z tych bokow nie da sie zbudowac trojkata.")

#include <iostream>
#include <cmath> // dla abs() i sqrt()
using namespace std;

int main()
{
    double a, b, c;

    // Wczytanie długości boków
    cout << "Podaj dlugosci bokow: ";
    cin >> a >> b >> c;

    // Sprawdzenie warunku istnienia trójkąta
    if (a + b > c && a + c > b && b + c > a)
    {
        // Sprawdzenie, czy trójkąt jest prostokątny (wszystkie kombinacje)
        if (a * a + b * b == c * c || a * a + c * c == b * b || b * b + c * c == a * a)
            cout << "Z tych bokow mozna zbudowac trojkat prostokatny." << endl;
        else
            cout << "Z tych bokow mozna zbudowac trojkat, ale nie jest prostokatny." << endl;
    }
    else
        cout << "Nie jest to trojkat";

    return 0;
}

Efekt wykonania kodu programu:

3 4 5

Z tych bokow mozna zbudowac trojkat prostokatny.

6. Wzór Herona

Pole trójkąta można również policzyć ze wzór Herona. Wzór ten pozwala obliczyć pole dowolnego trójkąta, gdy znamy długości wszystkich trzech boków $a$, $b$ i $c$.

We wzorze Herona najpierw obliczmy połowę obwodu trójkąta:

$p = \frac{a+b+c}{2}$

$ P=\sqrt{p\cdot(p-a)\cdot (p-b) \cdot (p-b) \cdot (p-c)} $

Python C++

# Program: Pole trójkąta za pomocą wzoru Herona
# Autor: Jarosław Drzeżdżon
# Data: 2025-09-16

from math import sqrt

a = float(input("Podaj dlugosc boku a: "))
b = float(input("Podaj dlugosc boku b: "))
c = float(input("Podaj dlugosc boku c: "))

# Sprawdzenie warunku istnienia trójkąta
if a + b > c and a + c > b and b + c > a:
    s = (a + b + c) / 2
    area = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
    print(f"Pole trojkata wynosi {area:.2f}")
else:
    print("Z tych bokow nie da sie zbudowac trojkata.")

//Program : Wzór Herona
//Autor : Jarosław Drzeżdżon
//Data : 2025 - 09 - 16

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

int main()
{
    double a, b, c;

    // Wczytanie boków
    cout << "Podaj dlugosc boku a: ";
    cin >> a;
    cout << "Podaj dlugosc boku b: ";
    cin >> b;
    cout << "Podaj dlugosc boku c: ";
    cin >> c;

    // Sprawdzenie warunku istnienia trójkąta
    if (a + b > c && a + c > b && b + c > a)
    {
        double s = (a + b + c) / 2;
        double area = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c));
        cout.precision(2);
        cout << fixed << "Pole trojkata wynosi " << area << endl;
    }
    else
    {
        cout << "Z tych bokow nie da sie zbudowac trojkata." << endl;
    }

    return 0;
}

Efekt wykonania kodu programu:

Pole: 9.789

7. Pole trójkąta z wierzchołkami

Aby obliczyć pole trójkąta, znając współrzędne jego wierzchołków $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ i $C(x_C, y_C)$ można skorzystać ze wzoru

\[P=\frac{1}{2}|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)|\]

# Program: Pole trójkąta z trzema wierzchołkami
# Autor: Jarosław Drzeżdżon
# Data: 2025-09-17

def pole_trojkata(A, B, C):
    """
    Oblicza pole trójkąta o wierzchołkach A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC,yC)
    korzystając ze wzoru z wyznacznikiem.
    """
    xA, yA = A
    xB, yB = B
    xC, yC = C

    pole = abs(xA*(yB - yC) + xB*(yC - yA) + xC*(yA - yB)) / 2
    return pole


# Przykład użycia:
A = (1, 2)
B = (4, 6)
C = (5, 2)

print("Pole trójkąta:", pole_trojkata(A, B, C))

//Pole trójkąta z trzema wierzchołkami
//Autor: Jarosław Drzeżdżon
//Data: 2025-09-17

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <utility>

using namespace std;

double poleTrojkata(pair<double,double> A, pair<double,double> B, pair<double,double> C) 
{
    double xA = A.first, yA = A.second;
    double xB = B.first, yB = B.second;
    double xC = C.first, yC = C.second;

    double pole = fabs(xA*(yB - yC) + xB*(yC - yA) + xC*(yA - yB)) / 2.0;

    return pole;
}

int main() 
{
    pair<double,double> A = {1, 2};
    pair<double,double> B = {4, 6};
    pair<double,double> C = {5, 2};

    cout << "Pole trojkata: " << poleTrojkata(A, B, C) << endl;

    return 0;
}

Efekt wykonania kodu programu:

Pole trójkąta 8.00

8. Wzór Picka

Wzór Picka to klasyczny wynik z geometrii dyskretnej, dotyczący wielokątów kratowych (czyli takich, których wszystkie wierzchołki leżą w punktach o współrzędnych całkowitych).

Mówi on, że dla takiego wielokąta: \[P=W+\frac{B}{2}-1\]

gdzie:

$P$ – pole wielokąta,
$W$ – liczba punktów kratowych wewnątrz wielokąta,
$B$ – liczba punktów kratowych na brzegu wielokąt

Przykład
W poniższym wielokącie znajduje się 5 punktów kratowych, a na jego brzegi jest 6 punktów kratowych.

czyli:
$W = 5$
$B = 6$

Korzystając ze wzoru Picka $P=5+\frac{1}{2} \cdot 6 -1 = 5+3-1=7$.

Wzór Picka uszczegółowiony do trójkąta kratowego - wierzchołki trójkąta leżą w punktach o współrzędnych całkowitych, nie zmienia swojej postaci, innymi słowy dalej możemy skorzystać ze wzoru:

\[P=W+\frac{B}{2}-1\]

gdzie:

$P$ – pole wielokąta,
$W$ – liczba punktów kratowych wewnątrz wielokąta,
$B$ – liczba punktów kratowych na brzegu wielokąt

Przykład
Weźmy trójkąt prostokątny o wierzchołkach: $(0,0)$, $(0,4)$, $(3,0)$.

Punktów wewnątrz trójkąta jest $3$
Punktów na krawędzi jest $8$.

Podstawiamy do wzoru Picka: $P=3+\frac{1}{2}\cdot 8-1 = 3+4-1=6$.

Wzór na pole dowolnego trójkąta kratowego

przy pomocy Picka (czyli w postaci zależnej tylko od punktów na bokach)

Rozważmy trójkąt kratowy o wierzchołkach $A$, $B$, $C$ w punktach o współrzędnych całkowitych.

Każdy bok trójkąta jest odcinkiem między dwoma punktami kratowymi. Liczbę punktów kratowych na odcinku między punktami $A=(x_A, y_A)$, $B=(x_B,y_B)$ można znaleźć ze wzoru:

\[B_{AB}=gcd(|x_B-x_A|, |y_B-y_A|)+1\], gdzie $gcd$, to największy wspólny dzielnik.

Czyli liczba punktów na wszystkich bokach trójkata jest równa

\[B=B_{AB}+B_{AB}+B_{BC}+B_{CA}-3\]

Ostateczny wzór Picka dla trójkąta

\[P=W+\frac{1}{2}(gcd(|x_B-x_A|, |y_B-y_A|)+ |x_C-x_B|, |y_C-y_B|) + |x_A-x_C|, |y_A-y_C|))-1\]

Python C++

# Program: Pole trójkąta z użyciem wzoru Picka
# Autor: Jarosław Drzeżdżon
# Data: 2025-09-17

from math import gcd

def pick_triangle_area(A, B, C, I):
    """
    Oblicza pole trójkąta kratowego za pomocą wzoru Picka.
    
    A, B, C: wierzchołki trójkąta w postaci (x, y)
    W: liczba punktów kratowych wewnątrz trójkąta
    """
    # Liczba punktów na bokach
    B_AB = gcd(abs(B[0]-A[0]), abs(B[1]-A[1])) + 1
    B_BC = gcd(abs(C[0]-B[0]), abs(C[1]-B[1])) + 1
    B_CA = gcd(abs(A[0]-C[0]), abs(A[1]-C[1])) + 1
    
    # Całkowita liczba punktów na brzegu
    B_total = B_AB + B_BC + B_CA - 3
    
    # Pole ze wzoru Picka
    P = I + B_total / 2 - 1
    return P

# Przykład
A = (0, 0)
B = (4, 0)
C = (0, 3)
I = 3  # liczba punktów wewnętrznych

pole = pick_triangle_area(A, B, C, I)
print("Pole trójkąta kratowego:", pole)

// Pole trójkąta z użyciem wzoru Picka
// Autor: Jarosław Drzeżdżon
// Data: 2025-09-17

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

// Funkcja do obliczenia największego wspólnego dzielnika
int gcd(int a, int b)
{
    while (b != 0)
    {
        int temp = b;
        b = a % b;
        a = temp;
    }
    return a;
}

// Funkcja do obliczenia pola trójkąta kratowego ze wzoru Picka
double pick_triangle_area(pair<int, int> A, pair<int, int> B, pair<int, int> C, int I)
{
    int B_AB = gcd(abs(B.first - A.first), abs(B.second - A.second)) + 1;
    int B_BC = gcd(abs(C.first - B.first), abs(C.second - B.second)) + 1;
    int B_CA = gcd(abs(A.first - C.first), abs(A.second - C.second)) + 1;

    int B_total = B_AB + B_BC + B_CA - 3;

    double P = I + B_total / 2.0 - 1;
    return P;
}

int main()
{
    pair<int, int> A = {0, 0};
    pair<int, int> B = {4, 0};
    pair<int, int> C = {0, 3};
    int I = 3;

    double pole = pick_triangle_area(A, B, C, I);
    cout << "Pole trojkata kratowego: " << pole << endl;

    return 0;
}

Efekt wykonania kodu programu:

0 0
0 3
4 0
Pole trójkąta 6.00

9. Pole trójkąta z kątem

W poniższym trójkącie $ABC$

zostały przyjęte oznaczenie:

$a, b, c $ - długości boków trójkąta $ABC$
$\alpha, \beta, \gamma$ - miary kątów wewnętrznych trójkąta leżących, odpowiednio, przy wierzchołkach $A, B, C$

Pole trójkąta można również obliczyć za pomocą wzorów

$P=\frac{1}{2}ab\cdot\sin\gamma$
$P=\frac{1}{2}bc\cdot\sin\alpha$
$P=\frac{1}{2}ac\cdot\sin\beta$

Wyznaczanie pola trójkąta mając dane dwa boki i kąt między nimi

Python C++

# Program: Pole trójkąta z dwoma bokami i kątem między nimi
# Autor: Jarosław Drzeżdżon
# Data: 2025-09-19

import math

def pole_trojkata(ab, ac, kat_A_stopnie):
    # Zamiana kąta ze stopni na radiany (sin w Pythonie działa na radianach)
    kat_A_radiany = math.radians(kat_A_stopnie)
    # Wzór: 1/2 * ab * ac * sin(A)
    pole = 0.5 * ab * ac * math.sin(kat_A_radiany)
    return pole

if __name__ == "__main__":
    AB = float(input("Podaj długość boku AB: "))
    AC = float(input("Podaj długość boku AC: "))
    kat_A = float(input("Podaj miarę kąta A w stopniach: "))

    pole = pole_trojkata(AB, AC, kat_A)
    print(f"Pole trójkąta wynosi: {pole:.2f}")

// # Program: Pole trójkąta z dwoma bokami i kątem między nimi
// Autor: Jarosław Drzeżdżon
// Data: 2025-09-19

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

double poleTrojkata(double ab, double ac, double katA_stopnie) 
{
    // zamiana stopni na radiany
    double katA_radiany = katA_stopnie * M_PI / 180.0;
    // wzór: 1/2 * ab * ac * sin(A)
    return 0.5 * ab * ac * sin(katA_radiany);
}

int main() 
{
    double AB, AC, katA;
    cout << "Podaj dlugosc boku AB: ";
    cin >> AB;
    cout << "Podaj dlugosc boku AC: ";
    cin >> AC;
    cout << "Podaj miare kata A (w stopniach): ";
    cin >> katA;

    double pole = poleTrojkata(AB, AC, katA);
    cout << "Pole trojkata wynosi: " << pole << "\n";

    return 0;
}

Efekt wykonania kodu programu:


Podaj długość boku AB: 3
Podaj długość boku AC: 4
Podaj miarę kąta A w stopniach: 60
Pole trójkąta wynosi: 5.20